一、广义正定矩阵的研究（论文文献综述）
尹晓霞[1]（2021）在《求解广义绝对值方程的高效分裂迭代算法研究》文中提出广义绝对值方程（GAVE）是一类重要的非线性不可微优化问题,其主要研究来源是线性互补问题（LCP）,而LCP是一类具有广泛实际应用背景的优化问题.LCP在一定条件下可以转化为GAVE.本文主要建立了大规模GAVE的两种高效的分裂迭代算法,进一步讨论了新方法的收敛性结论,另外还通过数值实验验证算法的可行性和高效性.本文的主要工作如下:第一章,主要阐述了GAVE的研究背景、主要研究来源以及研究现状,并且介绍了相关的预备知识.第二章,利用内外迭代技术,将广义正定和反Hermitian分裂（GPSS）作为Picard迭代法的内迭代求解器,建立了求解GAVE的Picard-GPSS迭代法,并给出了该迭代法的收敛性条件.最后通过数值实验验证了Picard-GPSS迭代法的高效性.第三章,对线性部分的系数矩阵作广义Shift分裂,建立了求解GAVE的Shift分裂修正Newton-型（SSMN）迭代法.详细讨论了SSMN迭代法的收敛条件.进一步给出了系数矩阵分别是对称正定矩阵或H+-矩阵时SSMN迭代法收敛的一些充分条件.最后通过两个算例表明SSMN迭代法是一种求解GAVE的有效迭代法.第四章,总结本文的研究成果以及后续需要进一步探讨的问题.
吴思婷[2]（2021）在《求解大规模稀疏线性方程组的迭代方法的研究》文中认为大规模稀疏线性方程组在许多科学与工程领域都有着非常重要的作用。因此如何快速有效地求解大规模稀疏线性方程组已经成为当下非常重要的研究课题之一。目前求解线性方程组的方法,主要分为直接法和迭代法。直接法对规模较小的线性方程组的求解较为方便,而迭代法更适用于大规模的稀疏线性方程组的求解。2003年,白中治等人提出了一种Hermitian和反Hermitian（HSS）迭代方法。该方法具有迭代格式简单、适用范围广、无条件收敛等优点,一经提出便广受关注。目前HSS类方法已成为求解大规模稀疏线性方程组的主流方法之一。为了高效地求解大规模稀疏线性方程组,本文给出了三种有效的迭代方法。首先本文提出了一种求解大规模稀疏正定线性方程组的外推的正定和反Hermitian（EPSS）迭代方法,并给出了 EPSS方法收敛的充要条件。数值实验证明,EPSS方法比PSS方法有更快的收敛速度和更小的迭代次数。然后本文还针对大规模稀疏非Hermitian正定线性方程组的求解,给出一种外推的广义Hermitian和反Hermitian（EGHSS）迭代方法。接着理论分析了 EGHSS方法的收敛性,给出了该方法收敛的充要条件。数值实验表明,在处理某些实际问题中,EGHSS方法比GHSS方法和EHSS方法更有效。除此之外,本文对系数矩阵进行新的分裂,提出一种新的求解鞍点问题的广义超松弛（PSS-GSOR）迭代方法。理论分析表明,PSS-GSOR方法在一定条件下收敛于线性方程组的唯一解。数值计算证明PSS-GSOR方法的有效性。最后对全文进行了总结分析,并对未来的研究进行展望。
黄政阁[3]（2018）在《鞍点问题的迭代法和预处理技术研究》文中提出鞍点问题广泛来源于许多科学和工程应用领域,例如偏微分方程的混合有限元近似,图像重建和配准以及约束优化等.鞍点问题是一类大规模稀疏线性系统,其求解是科学和工程计算的关键问题之一.因此,研究求解鞍点问题的有效数值解法具有十分重要的理论意义和实际应用价值.由于鞍点问题系数矩阵往往具有不定性和病态等特点,目前对其求解主要采用基于系数矩阵分裂及其特殊结构等的迭代法和预处理技术.本文对鞍点问题的迭代方法和预处理技术进行了深入的研究,提出了几种新的求解鞍点问题的迭代法和预处理子.主要研究工作如下:1.研究了求解对称鞍点问题的逐次超松弛（SOR）型迭代法.通过使用参数加速技术和构造新的矩阵分裂,提出了广义加速SOR（GASOR）和修正ASOR（MASOR）迭代法,降低了ASOR迭代法中两个迭代格式之间的参数相关性,提高了其收敛速度.并从理论上分析了这两种新迭代法的收敛和半收敛性质.与一些同类迭代法相比,数值实验结果表明新方法具有更快的收敛速度.2.研究了求解Hermitian鞍点问题的Hermitian和反Hermitian分裂（HSS）型迭代法.将参数化预处理HSS（PPHSS）迭代法第一步迭代中的系数矩阵构造为块下三角矩阵,提出了改进的PPHSS（IPPHSS）迭代法,克服了PPHSS迭代法的第一步迭代格式未使用最新迭代信息的缺点,提高了其收敛速度.其次通过结合IPPHSS和加速HSS（AHSS）迭代法且对其参数进行合适处理,构造了修正PHSS（MPHSS）迭代法,克服了未能给出IPPHSS迭代法的理论最优参数的缺点且进一步提高了其计算效率,并给出了MPHSS迭代法的理论最优参数和实际参数表达式.数值实验结果表明所提出迭代法比同类方法更有效.3.研究了求解非Hermitian鞍点问题的Uzawa型迭代法.将单步HSS（SHSS）迭代法和Uzawa迭代法相结合,并对Uzawa迭代法的第二步迭代使用矩阵预处理和参数加速技术,提出了广义Uzawa-SHSS（GU-SHSS）迭代法,克服了Uzawa-HSS迭代法的每一步迭代中需要求解一个位移反Hermitian线性系统而导致其计算量较大的缺点.随后分析了GU-SHSS迭代法中参数的收敛和半收敛区间.数值实验结果表明求解具有Hermitian占优（1,1）块鞍点问题时,新方法优于一些同类方法.4.研究了非对称鞍点问题的HSS-based预处理子.通过构造双参数变异正定反Hermitian分裂（DPSS）迭代法,并对其导出的预处理子使用松弛消项技术,设计了广义变形DPSS（GVDPSS）预处理子,避免了需要均衡VDPSS预处理子与鞍点问题系数矩阵的差矩阵中参数的问题.分析了GVDPSS迭代法的收敛性,以及GVDPSS预处理矩阵的谱分布和最小多项式阶数的上界,并给出了GVDPSS预处理子的计算过程和参数选取方法.数值实验结果表明新预处理子比一些同类预处理子具有更好的数值表现.5.研究了非对称鞍点问题的位移分裂类预处理子.基于广义位移分裂（GSS）预处理子和改进位移分裂（MSSP）预处理子,提出了包含已知的几类位移分裂类预处理子的参数化GSS（PGSS）预处理子,提高了GSS和MSSP预处理子的计算效率.对于非对称鞍点问题,首次分析了位移分裂类预处理矩阵的特征值分布.并讨论了PGSS迭代法和PGSS预处理子参数的选取.数值实验结果表明所提出迭代法和预处理子比一些已有的迭代法和预处理子更稳定有效。
杜君花,杨新松[4]（2017）在《Ux-广义正定矩阵的研究》文中研究说明正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位,在实际中也有广泛的应用价值。有关广义正定矩阵已有一系列的推广。受文献[1-3]等的启发,本文进一步推广了广义正定矩阵的定义,给出了Ux-广义正定矩阵的定义,研究出了Ux-广义正定矩阵的几个充分必要条件,并得出了Ux-广义正定矩阵的判别及其若干性质,推广和改进了广义正定矩阵的一些相关研究结果。
雍龙泉[5]（2017）在《广义正定矩阵的判别及相应线性方程组的求解》文中研究指明通过给出广义正定矩阵判别的充分条件和充要条件,研究求解广义正定矩阵线性方程组的HSS迭代算法,分析算法的收敛性,并给出数值实验.
雍龙泉,刘三阳,史加荣,熊文涛,封全喜[6]（2016）在《几类特殊矩阵及性质》文中提出在一定条件下,研究了矩阵（A+I）-1（A-I）与（A+I）（A-I）-1的收敛性、正定性.分析了广义正定矩阵的一些特性,建立了判别广义正定矩阵的充要条件.给出了（A+I）（A-I）-1属于广义正定矩阵的一个充分条件.
雍龙泉[7]（2016）在《两类极大极小问题及应用》文中指出研究两类极大极小问题,从理论上给出了最优解,并分别给出了这两类极大极小问题在线性方程组Richardson迭代法和HSS迭代法中的应用.
蔺小林,蔺彦玲[8]（2015）在《复广义正定矩阵的定义及其相关性质》文中研究表明在实正定矩阵、广义实正定矩阵和复正定矩阵定义及其性质的基础之上,给出了复广义正定矩阵的定义及其一些性质,并对相关性质给出了详细完整的证明,推广了实正定矩阵、广义实正定矩阵和复正定矩阵的相关结论.
朱萍萍,李双东,韩钰[9]（2015）在《广义正定矩阵的相关性质及其判定》文中研究指明文章指出了任意阶方阵都对应一个二次型,推导论证了广义正定矩阵的几个性质,对如何判断证明任意阶方阵是否为广义正定矩阵给出了三种判别方法且给予了证明.
秦应兵[10]（2014）在《广义正定矩阵的等价定义及进一步推广》文中提出讨论了三类广义正定矩阵的等价定义,进一步推广正定矩阵得到了一类新的广义正定矩阵,并对其性质进行了研究.
二、广义正定矩阵的研究（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、广义正定矩阵的研究（论文提纲范文）
（1）求解广义绝对值方程的高效分裂迭代算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 求解线性系统的高效分裂迭代法 |
| 1.4.2 求解绝对值方程的经典迭代法 |
| 1.4.3 符号说明 |
| 1.4.4 本文用到的定义 |
| 第2章 求解广义绝对值方程的Picard-GPSS迭代法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Picard-GPSS迭代法 |
| 2.3 收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 求解广义绝对值方程的Shift分裂修正Newton-型迭代法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Shift分裂修正Newton-型迭代法 |
| 3.3 收敛性分析 |
| 3.3.1 一般情形 |
| 3.3.2 对称正定的情形 |
| 3.3.3 H_+-矩阵的情形 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 结论与展望 |
| 4.1 本文的主要研究成果 |
| 4.2 需要进一步探讨的问题 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 攻读学位期间所发表的学术论文 |
（2）求解大规模稀疏线性方程组的迭代方法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 本文组织架构 |
| 第2章 求解大规模稀疏线性方程组的经典迭代法 |
| 2.1 迭代法 |
| 2.2 求解线性方程组及鞍点问题的迭代法 |
| 2.3 HSS方法及相关方法 |
| 第3章 正定线性方程组外推的PSS迭代方法 |
| 3.1 EPSS迭代方法 |
| 3.2 收敛性分析 |
| 3.3 数值实验 |
| 第4章 非Hermitian正定线性方程组的外推的广义HSS方法 |
| 4.1 EGHSS迭代方法 |
| 4.2 收敛性分析 |
| 4.3 数值实验 |
| 第5章 求解鞍点问题的广义超松弛迭代法 |
| 5.1 PSS-GSOR迭代方法 |
| 5.2 收敛性分析 |
| 5.3 数值实验 |
| 第6章 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 硕士期间完成的论文 |
（3）鞍点问题的迭代法和预处理技术研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 求解鞍点问题数值解迭代法及预处理子的研究现状 |
| 1.3 基本定义和引理 |
| 1.4 本文主要工作及创新点 |
| 1.4.1 本文主要工作 |
| 1.4.2 本文的创新点 |
| 第二章 求解对称鞍点问题的GASOR迭代法和MASOR迭代法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 求解对称鞍点问题的广义ASOR(GASOR)迭代法 |
| 2.2.1 广义ASOR(GASOR)迭代法 |
| 2.2.2 GASOR迭代法求解非奇异对称鞍点问题的收敛性 |
| 2.2.3 GASOR迭代法求解奇异对称鞍点问题的半收敛性 |
| 2.3 求解对称鞍点问题的修正ASOR(MASOR)迭代法 |
| 2.3.1 修正ASOR(MASOR)迭代法 |
| 2.3.2 MASOR迭代法求解非奇异对称鞍点问题的收敛性 |
| 2.3.3 MASOR迭代法求解奇异对称鞍点问题的半收敛性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 求解Hermitian鞍点问题的IPPHSS迭代法和MPHSS迭代法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 求解Hermtian鞍点问题的改进PPHSS(IPPHSS)迭代法 |
| 3.2.1 IPPHSS迭代法求解非奇异Hermitian鞍点问题的收敛性分析 |
| 3.2.2 IPPHSS迭代法求解奇异Hermitian鞍点问题的半收敛性分析 |
| 3.2.3 IPPHSS预处理矩阵的谱性质 |
| 3.2.4 数值实验 |
| 3.3 求解Hermtian鞍点问题的修正PHSS(MPHSS)迭代法 |
| 3.3.1 MPHSS迭代法求解非奇异Hermitian鞍点问题的收敛性分析 |
| 3.3.2 MPHSS迭代法求解奇异Hermitian鞍点问题的半收敛性分析 |
| 3.3.3 MPHSS预处理矩阵的谱性质 |
| 3.3.4 数值实验 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章求解非Hermitian鞍点问题的GU-SHSS迭代法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 GU-SHSS迭代法 |
| 4.3 GU-SHSS迭代法求解非奇异非Hermitian鞍点问题的收敛性分析 |
| 4.4 GU-SHSS迭代法求解奇异非Hermitian鞍点问题的半收敛性分析 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 非对称鞍点问题的GVDPSS预处理子 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 广义变形DPSS(GVDPSS)预处理子 |
| 5.3 GVDPSS预处理矩阵P_(GV DPSS)~(-1)A的谱性质 |
| 5.4 预处理子PGV DP SS的实施过程和参数选取 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 非对称鞍点问题的PGSS预处理子 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 参数化广义位移分裂(PGSS)迭代法和预处理子 |
| 6.3 PGSS迭代法求解非奇异非对称鞍点问题的收敛性 |
| 6.4 PGSS迭代法求解奇异非对称鞍点问题的半收敛性 |
| 6.5 PGSS预处理矩阵的谱分析 |
| 6.6 PGSS迭代法和PGSS预处理子的参数选取 |
| 6.7 数值实验 |
| 6.8 本章小结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 展望及未来工作 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文及课题来源 |
| 致谢 |
（4）Ux-广义正定矩阵的研究（论文提纲范文）
| 0引言和定义 |
| 1若干引理 |
| 2主要结论 |
（5）广义正定矩阵的判别及相应线性方程组的求解（论文提纲范文）
| 1 广义正定矩阵 |
| 2 广义正定矩阵的判断 |
| 2.1 充分条件 |
| 2.2 充要条件 |
| 3 广义正定矩阵线性方程组的求解 |
| 3.1 广义正定矩阵线性方程组的HSS迭代法 |
| 3.2 数值实验 |
（6）几类特殊矩阵及性质（论文提纲范文）
| 1 收敛矩阵 |
| 2 对称正定收敛矩阵 |
| 3 广义正定矩阵 |
（8）复广义正定矩阵的定义及其相关性质（论文提纲范文）
| 0引言 |
| 1主要结论 |
| 2结论 |
（9）广义正定矩阵的相关性质及其判定（论文提纲范文）
| 1 广义正定矩阵的概念及其相关性质 |
| 2 广义正定矩阵的判定 |
（10）广义正定矩阵的等价定义及进一步推广（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 三类广义正定矩阵的等价定义 |
| 3 广义正定矩阵的进一步推广及其性质 |
四、广义正定矩阵的研究（论文参考文献）
- [1]求解广义绝对值方程的高效分裂迭代算法研究[D]. 尹晓霞. 兰州理工大学, 2021(01)
- [2]求解大规模稀疏线性方程组的迭代方法的研究[D]. 吴思婷. 华东理工大学, 2021(08)
- [3]鞍点问题的迭代法和预处理技术研究[D]. 黄政阁. 西北工业大学, 2018
- [4]Ux-广义正定矩阵的研究[J]. 杜君花,杨新松. 科技通报, 2017(02)
- [5]广义正定矩阵的判别及相应线性方程组的求解[J]. 雍龙泉. 吉林大学学报(理学版), 2017(01)
- [6]几类特殊矩阵及性质[J]. 雍龙泉,刘三阳,史加荣,熊文涛,封全喜. 兰州大学学报(自然科学版), 2016(03)
- [7]两类极大极小问题及应用[J]. 雍龙泉. 吉林大学学报(理学版), 2016(03)
- [8]复广义正定矩阵的定义及其相关性质[J]. 蔺小林,蔺彦玲. 陕西科技大学学报(自然科学版), 2015(05)
- [9]广义正定矩阵的相关性质及其判定[J]. 朱萍萍,李双东,韩钰. 通化师范学院学报, 2015(06)
- [10]广义正定矩阵的等价定义及进一步推广[J]. 秦应兵. 大学数学, 2014(05)