问：矩阵的对角化和若尔当标准型有什么意义
- 答：矩阵若可以对角化，那这个对角矩阵也是它的若尔当标准形，因为若尔当标准形包括对角矩阵
- 答：特征值互异时，矩阵A的相似变换可转为纯对角阵(Λ)。特征值既有异根也有重根时，矩阵A的相似变换一般为若当块对角阵(J)。若当块矩阵是广义的对角阵，包含了特殊情形的纯对角阵Λ。若当块对角阵可用于数学上求解一阶微分方程组。对微分方程组的系数矩阵求特征值，特征代数方程往往既有异根亦有重根，所以对系数矩阵相似变换得到若当块对角阵(J)，然后求指数若当矩阵 e^(J·t)，再求标准基解矩阵 e^(At)＝S· e^(J·t)· (S逆)，最终求出一阶微分方程组的函数解。从更普遍意义理解，矩阵对角化就是若当块对角化。一阶微分方程组(状态变量法)在时域动态电路中有较多物理应用。
问：量子力学中，矩阵或算符的对角化有什么意义？
- 答：矩阵的本征值（或叫特征值）,本征向量会求吧，就是求解久期方程det|λE-A|=0,求出λ1，λ2，...，λn. X1，X2，...，Xn.
所以A=(X1,X2,...,Xn)[λ1，λ2，...，λn](X1,X2,...,Xn)-1
Xn表示列向量，(X1,X2,...,Xn)为n*n矩阵，[λ1，λ2，...，λn]表示λ1，λ2，...，λn为对角元的对角矩阵。后面的那个-1是上标，表示取逆矩阵。 - 答：1.量子力学中的算符都是Hilbert空间中的Hermite算符，必定可以酉对角化，这个是谱分解定理，通过对角化可以得到算子所有的信息，也就是波函数以及对应的能量。
2.虽然谱分解定理表明了理论上的存在性，但是没有很一般的步骤来实现对角化，数值上当然是可以做到的。
问：矩阵对角化是什么意思
- 答：对角矩阵是除主对角线上的元素以外其它元素都等于0的矩阵，对角矩阵的性质比如秩，可逆性等等都是一目了然的，另外对角矩阵的运算比如和，差，积，方幂等等也特别容易计算，一般的矩阵的性质不容易讨论，计算也复杂，如果能够与对角矩阵相似，有些性质保持不变，运算也可以转化成对角矩阵的运算，这就是矩阵对角化的目的和意义
- 答：我用自己的语言说，希望能方便你明白
矩阵对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系（当然你看下去会发现不知道也可以）
设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过度矩阵为X，
那么可以证明：B=X'AX （X'是X的转置，注意X是满秩的）
那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X'AX ，那么说A与B是相似的（是一种等价关系）。
如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B，那么说A可对角化。
相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么另X为过度矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。 - 答：我用自己的语言说，希望能方便你明白
矩阵对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系（当然你看下去会发现不知道也可以）
设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过度矩阵为X，
那么可以证明：B=X'AX （X'是X的转置，注意X是满秩的）
那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X'AX ，那么说A与B是相似的（是一种等价关系）。
如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B，那么说A可对角化。
相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么另X为过度矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。
